等差数列教案(精选多篇)

第一篇：等差数列教案4

等差数列（1）

教学内容与教学目标

1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会“迭加”的方法；

2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；

3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．

设计思想

1．根据本节内容，我们选用“探究发现式”教学法，并按如下顺序逐步展开：

(1) 给等差数列下定义；

(2) 等差数列通项公式的探求；

(3) 通项公式的初步应用．

2．在讲等差数列概念之前，学生对数列的定义及通项公式已有所理解．在此基础上，通过引导学生对几个具体数列共性（差相等）的观察研究，让学生自己给等差数列下定义────把命名权交给学生，旨在充分发挥学生的主体作用．

3．“观察───归纳───猜想───证明”是获得发现的重要途径．因此，在探求等差数列的通项公式时，我们选择了上述途径，一方面可提高学生的合情推理与逻辑推理能力，另一方面，为落实教学目标打下了坚实的基础．

课题引入

通过请学生观察几个具体的数列的特点．例如：

(1) 1，4，7，10，?；

(2) 3，－1，－5，－9，?；

(3) 5，5，5，5，?，

并由学生自行分析（必要时老师可作点拨）得出“从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数”这一共性，随即请学生给这类数列命名（学生易将这类数列称作“差相等的数列”或“等差数列）”，师肯定学生的回答，或稍作提炼，并顺水推舟，指出这是我们今天将要研究的内容───等差数列（板书），以此引出课题．

知识讲解

1．关于等差数列的定义

(1) 教学模式：由学生观察分析几个具体数列的共性───给这类数列命名（等差数列）───给等差数列下定义───分析两个要点的作用───用符号语言描述定义───指出定义的功能．

采用这一教学模式，主要目的是充分发挥学生的主体作用，教师的主导作用主要体现在必要的点拨上．

(2) 等差数列的定义有两个要点．一是“从第2项起”．这是为了确保每一项与前一项差的存在性；二是“差等于同一个常数”，这是等差数列的基本特点“差相等”的具体体现．

2．+关于等差数列的通项公式

(1) 教学模式：试验───归纳───猜想───证明───鉴赏．即试着求出a1，a2，a3，a4，并对此进行分析归纳，猜想出通项公式，再加以证明，最后从数形结合的角度揭示公式的内涵．

采用这一教学模式，可帮助学生学习合情推理与逻辑推理的方法，提高学生的发现能力和逻辑思维能力，培养学生思维的科学性和严密性以及勇于探索的精神．

(2) 通项公式的证明：

方法1（利用迭加法）：

在an－an－1=d中，取下标n为2，3，?，n，

得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，?，an－an－1=d．

把这n－1个式子相加并整理，

得an= a1＋（n－1）d．

又当n=1时，左边= a1，右边= a1＋（1－1）d= a1．

公式也适用．故通项公式为an= a1＋（n－1）d（n=1，2，3，?）．

方法2（利用递推关系）

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d（注意ak的下标与d的系数的关系）

=?

= a1＋（n－1）d．

（n=1时的验证同方法1）．

(3) 公式鉴赏：

① 通项公式可表示为an=dn＋c（其中c= a1－d，n?n）的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（x?r）的图象上的一群孤立的点．

② 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）．

例题分析

考虑到本节课是等差数列的起始课，因此例题应围绕等差数列的定义及通项公式这两个知识点选配．

例1．求等差数列8，5，2，?的第20项．

通过本题的求解，使学生初步掌握通项公式的应用，运用方程的思想“知三求

一” ．

本例在探求出通项公式以后给出．

分析与略解：欲求第20项a20，需知首项a1与公差d．现a1为已知，因此只需*求出d，便可由通项公式求出a20．事实上，

∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，

∴ a20=8＋（20－1）×（－3）= －49．

例2．已知数列－2，1，4，?，3n－5，?，

(1) 求证这个数列是等差数列，并求其公差；

(2) 求第100项及第2n－1项；

(3) 判断100和110是不是该数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．

通过本例的求解，加深学生对定义及其功能的理解和认识，并能利用方程的思想解决问题．

本例可在讲完定义后给出，也可在获得通项公式以后给出．

分析：对(1)，只需利用定义证明an＋1－an等于常数即可，并且这个常数即为公差；对(2)，从函数的角度看，只需将an=3n－5中的n分别换成100及2 n－1即得a100和a2n－1；对(3)，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分别求出n，若求出的n为正整数，则可判定该数是这个数列中的项，并且这个正整数是几，该数就是这个数列中的第几项；若n不是正整数，则该数不是这个数列中的项．

略解：(1)由于an＋1－an=3（n＋1）－5－（3 n－5）=3（常数），

故这个数列是等差数列，且公差d=3．

(2) ∵ an=3 n－5，

∴ a100 =3×100－5=295，

a2n－1=3（2n－1）－5=6n－8．

(3) 设3 n－5=100，解得n=35，

∴ 100是这个数列中的项，并且是第35项；

设3 n－5=110，解得n=115

3?n*，

∴ 110不是这个数列中的项．

小结或总结

……此处隐藏4979个字……?a8?a9?a10?a11?a12

?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?s6?36d∵s18?s12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)

?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(s12?s6)?36d∴

?s6,s12?s6,s18?s12是以36d同理可得sk,s2k?sk,s3k?s2k是以kd为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得s4=24, s5－s2=27

则设等差数列首项为a1,公差为d, 2

4(4?1)d?4a??24??12则 ?

?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2（n－1）=2n+1. d?2?

2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求x?x2????x7d1与1y1?y2????y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,

∴x1?x2????x77＝. y1?y2????y66

3．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和snsn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n(n?1)3512512

∴ sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226

∴ 当|n－51|最小时，sn最小， 6

即当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.

四、小结本节课学习了以下内容：?an?是等差数列，sn是其前n项和，则sk,s2k?sk,s3k?s2k （k?n?五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n?1)×10， 2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,

当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常数等差数列{an}的前n项和sn满足

10sn?m2?3n?2(m?1)n?mn

解：由题设知

2n2(n∈n, m∈r), 求数列{a5n?3}的前n项和. sn＝lg(m?3?2

即 sn＝[(m?1)n2?mn(m?1)n2?mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m?1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 (m?1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55

(请您支持WWW.)

3 则 当n=1时，a1＝lg3?lg2 5

21当n≥2时,an＝sn－sn?1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 55

41＝?nlg2?lg3?lg2 55∴

41nlg2?lg3?lg2 55

4 d=an?1?an=?lg2 5

41a5n?3=?(5n?3)lg2?lg3?lg2 55

11=?4nlg2?lg3?lg2 5

31数列{a5n?3}是以a8=lg3?lg2为首项,5d=?4lg2为公差的等差数列，∴数列5∴an＝?

{a5n?3}的前n项和为

n·(lg3?31211lg2)＋n(n－1)·(?4lg2)＝?2n2lg2?(lg3?lg2)n 255

3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.

解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等?12a1?66d?354?32, 解得d＝5. 差数列，由已知得?6a2?30d???6a1?30d27

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为s偶，s奇，则由已知得

?s偶?s奇?354?s32,求得s偶＝192，s奇＝162，s偶－s奇＝6d, ∴ d＝5. 偶???s27奇?

4．两个等差数列，它们的前n项和之比为5n?3, 2n?1

解：a9a1?a17?b9b1?b1717(a1?a17)s8. ??17?'17s173(b1?b17)2

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，

s10, s20－s10, s30－s20, ……, s100－s90, s110－s100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，

10s10＋10?9·d＝s100＝10, 解得d＝－22 2

∴ s110－s100＝s10＋10×d＝－120, ∴ s110＝－110.

6．设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3＝12，s12>0，s13<0，(1) 求公差d的取

值范围；

(2) 指出s1, s2, s3, ……, s1212?11?s?12a?d?01?12?2a1?11d?02?解：(1) ?,?13?12a?6d?0?1?s13?13a1?d?02?

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得??24?7d?024, ∴ －<d<－3, 7?3?d?0

(2) s13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由s12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,s6最大.

六、板书设计（略）

七、课后记：